解读文献里的那些图——主成分分析图（PCA）

PCA全名principal component analysis，即主成分分析，看到这个名字的时候，第一次深刻的体会到了什么是每个字都认识，合在一起却不知道是什么意思……

看一下主流的解释：主成分分析是一组变量通过正交变换转变成另一组变量的分析方法，来实现数据降维的目的。转换后得到的这一组变量，即是我们所说的主成分。

Emmmm，还是不懂……

拆开了，一个字一个词的来看：主成分分析的字面意思就是用主成分来分析数据呗！

首先，什么是主成分？

举两个简单的例子：

①评价一个研究生的综合能力有哪些指标呢：绩点、考研分数、科研能力、笔试成绩、面试表现、英语水平、奖学金等等等等……

②评价一座城市的发展水平有哪些指标呢：人口、GDP、面积、人均寿命、人均工资、人均受教育年份、性别比例、宗教人口、汽车保有量、人均住房面积等等等等……

一个指标就是一个变量一个维度啊，把他们画在图上直观的表示一下吧……

好家伙，超过三个我就画不出来了，那些基因、蛋白成千上万的，咋办？怎样用简单的方法来表示复杂的数据呢？

降维！

降维是通过减少数据中的指标（或变量）以化简数据的过程。这里的减少指标，并不是随意加减，而是用复杂的数理知识，得到几个“综合指标”来代表整个数据。而这里的综合指标就是所谓的主成分！它不是原来的指标中的任何一个，而是由所有原有指标数据线性组合而来。

为什么主成分可以代表这些指标呢？其实我们仔细看一下，这里的许多指标是有相关性的，比如绩点与奖学金、考研分数等有关联性，通过降维就可以帮助我们去除这些指标中重叠、多余的信息，把数据最本质和关键的信息提取出来。

那么我们就可以表示为：

将n个指标降维成r个主成分（r<n）后，这些个主成分会依据方差的大小进行排序，称作主成分（PC）1、主成分2、……主成分r。而每个主成分的方差在这一组变量中的总方差中所占的比例，即是主成分的贡献度。通常来说，我们仅考察贡献度前2或者前3的主成分，经过可视化后，即得到了二维或三维PCA散点图。

通过这样的可视化处理之后，可以帮助我们对数据做出清晰的了解：

1、各样本点连线的距离：体现每个学生之间的相似性，距离越短，相似性越大。

2、主成分与原变量之间的关系：箭头对应的原始变量在投影到水平和垂直方向上后的值，可以分别体现该变量与PC1和PC2的相关性（正负相关性及其大小）（例如，绩点对PC1具有较大的贡献，而面试则与PC1之间呈较大的负相关性）。

3、样本点和箭头之间的距离：反映样本与原始变量的关系。（对于3号样本点而言，各个指标都趋近于0，即各个指标都不是那么优秀）。

这样看下来，3、4号学生较为相似，1号2号5号有各自突出的特点。

所以，看PCA图抓住一点：样本点连线距离长=样本之间差异性大，样本点连线距离短=样本之间差异性小。这样可以让我们非常直观地看出各个样本之间的相似性。

例如在一张PCA散点图中，数个样本的点聚在一起，那么就说明这几个样本之间的相似性非常高；反之，如果几个样本的点非常分散，则说明这几个样本之间的相似性比较低。例如下图，几个组的样本对应的散点在组内呈现相互聚集的情况，说明组内的重复性比较好，样本数据非常相似，而组间则有较好的区分度。有的时候为了说明组内样本的相似程度，还会用一个椭圆将同一组的样本对应的散点全部囊括起来。